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Problème de Proba

Old TraffordUn petit problème de logique pour vous (en particulier pour les amateurs de jeux de hasard) :

Une partie de pile-ou-face avec Blaise Pascal

Jouer à pile-ou-face, c'est facile ! Mais quand deux mathématiciens de génie jouent ensemble, le résultat devient assez énigmatique. Seriez-vous capable de touver la solution d'un problème logique résolu par Pascal lui-même ?

Nous sommes en juillet 1654 à Paris. Selon la légende, Blaise Pascal et son ami Pierre de Fermat, tous deux mathématiciens éminents, se sont mis en tête de percer le mystère des jeux de hasard. Pour se faire, ils s'adonnent au jeu le plus simpliste qui soit, le "pile-ou-face". Fermat marque un point à chaque fois que la pièce tombe sur face et Pascal marque un point à chaque fois que la pièce tombe sur pile. Ils ont mis chacun 50 deniers sur la table et le premier qui arrivera à 10 points empochera la mise commune de 100 deniers.

La légende raconte qu'au cours de la partie, un évènement inattendu se produit : un messager vient alerter Fermat que l'un de ses amis est très malade à Toulouse et qu'il requiert la présence immédiate de Fermat à son chevet. Fermat n'hésite pas une seconde et quitte la table sans tarder abandonnant la partie sur un score de 8 à 7 en sa faveur. Plusieurs semaines plus tard, au cours d'une correspondance entre les deux amis, la question de cette partie inachevée resurgit.

Par un raisonnement particulièrement logique, Fermat propose une solution à Pascal qui, en la validant, va en profiter pour rédiger les fondements mathématiques de la théorie moderne des probabilités. Leur solution collective va permettre, pour la première fois, de prévoir l?avenir grâce à la manipulation de nombres, et donc de prendre des décisions même lorsque l'avenir est incertain.

Alors, maintenant à vous ! Etes-vous en mesure de raisonner comme eux et de trouver une solution à cette énigme. Si oui, même 350 ans plus tard, vous êtes certainement de la graine de génie. Voici la question : Comment répartir les 100 deniers entre les deux joueurs sachant que :
- le score est de 8 à 7 en faveur de Fermat ;
- le premier arrivé à 10 a gagné.

Solution : demain soir. (J'en profite pour vous signaler l'arrivée de ZERO, éminent mathématicien de la toile, sur le forum.) :mf_bluesb

DuKefeng50 deniers chacun, ni vainqueur, ni vaincu!

Old TraffordNon, ce n'est pas 50-50. Une indication : il faut imaginer les solutions possibles pour qu'un des deux arrive à 10 en premier et appliquer des proba par la suite pour connaître la répartition (enfin, c'est plus qu'une indication...).

LXheresimple :

Soit , qui est aussi une mesure -finie . On a et pour tout , donc il existe deux fonctions et à valeurs dans telles que et , en vertu du lemme ci-dessus sur répond à la question.
D'abord, , puisque , donc puisque est absolument continue par rapport à . Donc si , la proposition 3- implique:
:smoke1:

Old TraffordJ'attendais mieux d'un champion des pronos, LX-Here. :thumbdown

LXhere
Old Trafford a écrit :
J'attendais mieux d'un champion des pronos, LX-Here. :thumbdown
bon ok :
60 pessos pour fermat
40 yen pour Blaise ( il était pas dans " la classe" lui? une émission sur Fr3 à 20h00 il y à 15 ans...)

Old Trafford:mf_dribbl Tu es proche de la réponse. Si vous trouvez, il faut aussi dire comment vous arrivez à la solution. :mf_farmer

pixie:mf_dribbl Oh j'aime pas ça, le mal de tronche que ça m'a mis

LXhereBon Fermat a besoin de deux points et blaise de trois points. il suffit donc de 4 tours pour finir la partie, soit 4² =16 chances pour les deux tordus.
sur les 16 il y a 5 chance que blaise gagne.
il y en a 1 qui recevra 11/16 des 100 deniers et l'autre aura le reste ainsi qu'un bisou de consollation.
:mf_doctor j'ai encore des restes de proba...et merci google surtout.

Old Trafford
Pixie a écrit :
:mf_dribbl Oh j'aime pas ça, le mal de tronche que ça m'a mis

Oui, mais la récompense mérite bien un petit effort :
Citation :
Etes-vous en mesure de raisonner comme eux et de trouver une solution à cette énigme. Si oui, même 350 ans plus tard, vous êtes certainement de la graine de génie.

Old Trafford
LX_here a écrit :
Bon Fermat a besoin de deux points et blaise de trois points. il suffit donc de 4 tours pour finir la partie, soit 4² =16 chances pour les deux tordus.
sur les 16 il y a 5 chance que blaise gagne.
il y en a 1 qui recevra 11/16 des 100 deniers et l'autre aura le reste ainsi qu'un bisou de consollation.
:mf_doctor j'ai encore des restes de proba...et merci google surtout.

Trîcheur va. C'est bien la réponse. Mais, les explications ne sont pas claires, notamment pourquoi il y a 16 chances et pourquoi il y a 5 chances sur 16 que Pascal gagne. Réponse rejetée donc.

Old TraffordBon, je donne la solution :

La solution

Pour répartir les 100 francs, Fermat propose (*) à Pascal : "Pour gagner la partie, je n'avais besoin que de deux points et vous aviez besoin de trois points, Donc on peut établir qu'après quatre lancers de pièce supplémentaires, la partie aurait été terminée. Au bout de quatre lancers, si vous n'aviez pas obtenu 3 "pile", cela aurait signifié que j'aurais obtenu les 2 "face" qui me manquaient. Selon le même raisonnement, si je n'avais pas obtenu au moins 2 "face", cela aurait signifié que vous auriez obtenu au moins 3 "pile".

En conséquence de quoi, il n'y avait en tout et pour tout que 16 fins possibles à cette partie (j'utilise "P" pour "pile" et "F" pour "face"). Les voici listées :
F F F F -- F F F P -- F F P F -- F F P P
F P F F -- F P F P -- F P P F -- F P P P
P F F F -- P F F P -- P F P F -- P F P P
P P F F -- P P F P -- P P P F -- P P P P

Vous admettrez sans doute que ces 16 combinaisons sont aussi probables les unes que les autres donc toutes celles où figurent 3 "pile" sont à porter à votre crédit et toutes les autres sont à porter au mien. Vous aviez donc 5 chances sur 16 de gagner et j'avais 11 chances sur 16 de l'emporter. Je devrais recevoir 11/16 des 100 deniers (68,75 deniers) et vous devriez recevoir 31,25 deniers".

Ce à quoi Pascal répond : "Votre solution est satisfaisante en effet et vous trouverez, dans cette lettre, l'argent que je vous dois. Inspiré par votre raisonnement, j'ai réléchi plus sérieusement à ce problème. J'ai alors réalisé que si, par hasard, nous avions dû prévoir la distribution d'un plus grand nombre de points entre les deux joueurs, votre méthode d'écriture serait devenue laborieuse."
A la suite de quoi, Pascal propose à son ami l'équation fondatrice de la théorie moderne des probabilités...

CampanaOuaip, mais concrètement, on ne peut avoir que 10 fins possibles, six à l'avatange de Fermat et quatre pour Blaise (60/40, Elixir avait raison !)

F-F (victoire de Fermat)
F-P-F (Fermat)
F-P-P-F (Fermat)
F-P-P-P (Blaise)
P-F-F (Fermat)
P-F-P-F (Fermat)
P-F-P-P (Blaise)
P-P-F-F (Fermat)
P-P-F-P (Blaise)
P-P-P (Blaise)

donc Blaise Pascal est un imposteur :smoke1:

Old TraffordElixir a trîché, il est disqualifié d'office. En plus, il n'a donné aucune explication. :angel_not

L'objection n'est pas retenue : c'est une solution théorique, car ils ne peuvent jouer pour déterminer le vainqueur. Et, en théorie, il faut 4 tours au maximum pour dégager un vainqueur, donc, 16 possibilités. Il est vrai que 6 des possibilités sont "superflues" (exemple, FFFF ou PPPP), car elles appartiennent au domaine théorique (et ne relèvent donc pas du concret). :smoke1:

CampanaJe ne suis pas mathématicien mais à partir du moment où six possibilités sur seize n'ont pas lieu d'être puisque de l'ordre du virtuel, je ne vois pas pourquoi il faudrait en tenir compte !

donc Blaise Pascal est coupable, CQFD

Old TraffordSi pour toi, une possibilité théorique qui est aussi une impossibilité pratique est de l'ordre du virtuel, on est d'accord.

CampanaTope la, Stade Mancunien

Erby KezakoPuisque Fermat a 8 et Pascal a 7, Fermat a droit (8+7=15) à 8/15ème des 100 deniers et Pascal à 7/15ème....

Ils empruntent 1 denier à un spectateur....

Fermat a donc : 101 x 8/15 = 53 et des "brouettes" après la virgule
Pascal a donc : 101 x 7/15 = 47 et des "brouettes" après la virgule

53+47= 100.... et ils rendent le denier emprunté au spectateur. Des "brouettes" + des "brouettes" = 1 denier

CQFD

ZERO
Campana a écrit :
Je ne suis pas mathématicien mais à partir du moment où six possibilités sur seize n'ont pas lieu d'être puisque de l'ordre du virtuel, je ne vois pas pourquoi il faudrait en tenir compte !

donc Blaise Pascal est coupable, CQFD
Très bonne remarque Maitre Campana. Parfois, dans des cas simples, la logique [i]"mathématique"[/i] se heurte à la pratique. Le raisonnement de départ reste vrai bien que purement théorique. Une méthode plus aboutie de résoluion du problème consisterait à rajouter un [i]"test d'arret"[/i] du jeu. A savoir 3 piles ou 2 faces d'affilée entrainent la fin de la partie. Dans ce cas, c'est pratiquement de la [i]modélisation[/i] de problème réel.

ZEROSympathique initiative, ce topic Oldy. J'emboîte le pas :

Il s'agit de rajouter un trait (ou une allumette, comme vous préférez) afin d'obtenir une égalité juste.

Je ramasse les copies ce soir.

pixieBon je vous explique quand j'ai passé mon bac les maths etaient une discipline orale :smoke1: coef 1 avec comme probleme les probabilités
J'me souviens de l'intitulé de la question:
Un dé à six faces blablabla probabilité de tomber sur un nombre pair
plus une ou deux autres questions du meme calibre
Noté sur 5
J'ai eu tout juste oeuf corse :smoke1: donc 5 points
Deuxieme Probleme consistait à resoudre une équation le type super sympa à voulu m'aider à résoudre l'ensemble des définitions je lui ai dit que j'avais jamais su faire (ça l'a fait marrer ) bref j'ai pas fait donc 0 points
Puis vint le moment d'une sombre histoire de dossier sur les étoiles suivi de deux questions sur Mars ou saturne pas répondu non plus donc 0 points

Bref le gars toujours super sympa me dit je vous met 7 ça vous va ?
Huhu que j'lui dit perfect :smoke1:
Voila j'ai eu mon bac pas grace à ça, de plus ce post est d'une innutilité sans égal mais il me semblait opportun de vous expliquer pourquoi jamais plus jamais je ne participerai à ce genre de discussion

LXhere
ZERO a écrit :

Je ramasse les copies ce soir.
racine carré de 1.

Campana
ZERO a écrit :
Très bonne remarque Maitre Campana. Parfois, dans des cas simples, la logique [i]"mathématique"[/i] se heurte à la pratique. Le raisonnement de départ reste vrai bien que purement théorique. Une méthode plus aboutie de résoluion du problème consisterait à rajouter un [i]"test d'arret"[/i] du jeu. A savoir 3 piles ou 2 faces d'affilée entrainent la fin de la partie. Dans ce cas, c'est pratiquement de la [i]modélisation[/i] de problème réel.

Pinaise, je suis le Monsieur Jourdain de la statistique

ZERO
LX_here a écrit :
racine carré de 1.
Multo Bene LX...avec ou sans Google?

Old TraffordComme en témoignent ses aveux dans ce topic même ce matin, le suspseudonommé Elixir est un trîcheur.

LXhere
ZERO a écrit :
Multo Bene LX...avec ou sans Google?
Sans google Monsieur !
Juste un click droit et "propriété".

Old TraffordAprès avoir revisité Fermat et Pascal (et révisé les probabilités), quoi de mieux que de parler du Marquis de Condorcet (18ème siècle) et du fameux théorème du jury de Condorcet (Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix). Ca tombe bien en ces temps d'élection et autres sondages sur les opinions d'opiomanes dont les résultats ne semblent pas toujours rationnels. Le théorème de Condorcet (appelé dans sa version simplifiée "le paradoxe du vote") explique comment le vote majoritaire peut donner lieu à des préférences cycliques (ou irrationnelles au niveau collectif bien que les votes individuels sont rationnels). Illustration :

Supposons que le parlement doit choisir entre 3 projets A, B et C. Un tiers des députés préfère A à B à C (noté, A > B > C). Un autre tiers des députés préfère C à A à B (C > A > B). Et, le dernier tiers préfère B à C à A (B > C > A).

On a donc :

A > B > C (1)
C > A > B (2)
B > C > A (3)

De (1) et (2), on déduit que la majorité préfère A à B (A > B).
De (1) et (3), on déduit que la majorité préfère B à C (B > C).

On a donc :

A > B
B > C

D'où on conclut :

A > C

Or, si on regarde (2) et (3), on conclut que la majorité préfère C à A.

On a donc simultanément A > C et C > A, ce qui est irrationnelle ou cyclique comme le disait Condorcet. C'est là un des paradoxes du vote majoritaire (ce qui ne veut pas dire que ce n'est pas un bon système bien évidemment). Peut-être que notre politologue en herbe, Téton Flingué, pourra nous en dire plus?

ZEROC'est un exemple de [i]non-transitivité[/i], comme on dit en maths. Des phénomènes similaires sont étudiés dans le cadre de la théorie du chaos. Sous forme mathématique, on aboutit parfois même, avec un peu plus d'hypothèses, à une infinité d'aberrations.

En ce qui concerne ce problème précis, Oldy,il y a quelques temps, j'ai lu un papier où il etait expliqué de façon assez simple, comment Kenneth Arrow, un prix Nobel d'économie, généralisait le paradoxe et démontrait qu'un système électoral démocratique est en théorie presque impossible. L'auteur du papier proposait plusieurs solutions possibles. L'une d'elles, la plus simple, consiste, pour les députés, à préférer un projet de compromis aux autres projets.

Mais la situaiton se complique si l'on rajoute certaines hypothèses (vote à plusieurs tours).

Il y a quelques sites sur le web proposant quelques methodes de résolution ou d'aggravation du problème.

Old Trafford
ZERO a écrit :
C'est un exemple de non-transitivité comme on dit en maths. Des phénomènes similaires sont étudiés dans le cadre de la théorie du chaos. Sous forme mathématique, on aboutit parfois même avec un peu plus d'hypothèses, à une infinité d'aberrations.

En ce qui concerne ce problème précis, Oldy,il y a quelques temps, j'ai lu un papier où il etait expliqué comment Kenneth Arrow, un prix Nobel d'économie, généralisait le paradoxe et démontrait qu'un système électoral démocratique est en théorie presque impossible.

Effectivement, c'est un problème de non-transitivité (tout part en fait de A > B et B > C impliquant A > C). Arrow a effectivement remis à l'honneur le théorème de Condorcet (il le cite) dans les années 50 avec son livre sur les choix collectifs (il continue de travailler dessus pour essayer de trouver une solution). Et, pour faire le lien entre tes 2 paragraphes, Arrow est un de ceux qui a fondé la fameuse école de Santa Fe dont je t'ai parlé sous d'autres cieux (école spécialisée dans la théorie du chaos et de la complexité). Arrow a raison : en théorie, le vote démocratique rencontre plusieurs problèmes (voire est impossible !).